lunes, 2 de mayo de 2011

guía numero dos

Lógica proposicional
Introducción
El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo éste el precedente fundamental para el desarrollo humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas.
Hoy en día, la lógica proposicional que estudiaremos en este capítulo, tiene una importancia singular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática.
Proposición
La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser:
VERDADERO (V) o FALSO (F)
En resumen, podemos dar la siguiente definición: Proposición es toda oración declarativa.
Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, ... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:
p : 15 + 5 = 21 (F)
q: Tocopilla es una provincia de Antofagasta. (V)
r: El número 15 es divisible por 3. (V)
s: El perro es un ave. (F)



Expresiones No Proposicionales
Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos.
Así tenemos, por ejemplo:
– ¿Cómo te llamas?
–  Prohibido pasar
–  Borra el pizarrón.
Enunciados Abiertos
Si en la proposición: "cinco es mayor que tres" (en símbolos: 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número cualquiera, entonces al enunciado x > 3 se le denomina enunciado abierto.
Clasificación de las Proposiciones
Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples o atómicas. Por ejemplo, sea la proposición "p: 3 + 6 = 9" es una proposición simple o atómica.
Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Así, por ejemplo:
http://soko.com.ar/imagenes/Matematica/logica/Image1081.gif
encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra.
Notación y Conectivos Lógicos
A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos. A continuación vemos una concreta definición de cada uno:
 
Símbolo
Operación asociada
Significado
~
Negación
Conjunción o producto lógico
Disyunción o suma lógica
Implicación
Doble implicación
no p o no es cierto que p
p y q
p o q (en sentido incluyente)
p implica q, o si p entonces q
p si y sólo si q
Operaciones Proposicionales
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba:
Negación
Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:
p: Diego estudia matemática  
~ p: Diego no estudia matemática
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:
p
~ p
V
F
F
V
Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa.
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.
Ejemplo: La negación de " p: todos los alumnos estudian matemática" es                 
~ p: no todos los alumnos estudian matemática
o bien:          
~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática
~ p: hay alumnos que no estudian matemática
Conjunción
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p  q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:
p
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.
Ejemplo: Sea la declaración: i)  http://soko.com.ar/imagenes/Matematica/logica/Image1082.gif
Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.
Ahora bien, sea la declaración
ii) Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de 5 de noviembre
Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones.
Disyunción
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p  q cuya tabla de valor de verdad es:
p
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.
Ejemplo: Sea  i)  Tiro las cosas viejas o que no me sirven
El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V.






Implicación o Condicional
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:
p
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
Ejemplo: Supongamos la implicación  http://soko.com.ar/imagenes/Matematica/logica/Image1083.gif
La implicación está compuesta de las proposiciones
p: apruebo
q: te presto el libro
Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera.
Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple.
Ejemplo: 1 = –1  1² = (–1)² (F)
La proposición resulta ser falsa por ser el antecedente (1 = –1) falso.

Doble Implicación o Bicondicional
Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es
p
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p  q puede obtenerse mediante la tabla de (p  q)  (q  p), como vemos:
p
q
p  q
q  p
(p  q)  (q  p)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
Ejemplo: Sea i) a = b si y sólo si a2 = b2
El enunciado está compuesto por las proposiciones:
p: a = b
q: a2 = b2
Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V.


Teoría de conjuntos
Sean x un elemento y A,B conjuntos
Operación
Notación
Se lee
pertenencia
x\in A
x pertenece a A
inclusión
A\subset B
A está contenido en B
A\subseteq B
A está contenido en B o es igual que B
inclusión
A\supset B
A contiene a B
A\supseteq B
A contiene a B o es igual que B
Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo x\not\in Aes "x no pertenece a A";
Expresiones
Operación
Notación
Se lee
igualdad
x = y
x es igual a y
menor que
x < y
x es menor que y
mayor que
x > y
x es mayor que y
aproximado
 x \approx y
x es aproximadamente igual a y

PROBLEMAS PROPUESTOS

1)        Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}.
Hallar A ∩ B = ?,  A B = ?

2)        Dado los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, B = {3, 4, 6}. C = {1, 2, 4, 8, 9, 5}
Hallar A B = ?, A C = ?, B C = ?, A ∩ B = ?, A ∩ C = ?, B ∩ C = ?

3)        Dado los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, }, B = {2, 4, 6}. C = { 2, 4, 8, 9,}
Hallar A B = ?, A C = ?, B C = ?, A ∩ B = ?, A ∩ C = ?, B ∩ C = ?

4)        Dado los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e}. C = {d, f, g}
Hallar A B = ?, A C = ?, B C = ?, A ∩ B = ?, A ∩ C = ?, B ∩ C = ?

5)        Dado los conjuntos: A = {c, h, a, t}, B = {c, h, a, r , m}. C = {h, r, t, n}
Hallar A B = ?, A C = ?, B C = ?, A ∩ B = ?, A ∩ C = ?, B ∩ C = ?

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